Đạo hàm và tiếp tuyến

Kéo thảTính lại thậtTrực giác hình học

Đạo hàm và tiếp tuyến

Kéo một điểm dọc đường cong và xem tiếp tuyến của nó nghiêng theo. Đạo hàm chính là độ dốc tại đúng điểm đó.

Đứng tại một điểm trên đường cong rồi hỏi "ngay lúc này hàm đang lên hay xuống, và dốc cỡ nào", câu trả lời chính là đạo hàm f'(x): độ dốc tức thời tại điểm đó. Hình học của nó là tiếp tuyến, đường thẳng vừa chạm và trượt sát đường cong tại điểm đang xét. Độ dốc âm nghĩa là hàm đang đi xuống, độ dốc dương là đang đi lên, còn bằng 0 là chỗ đường cong nằm ngang: đỉnh hoặc đáy.

Nhưng "độ dốc tại một điểm" là một ý tưởng lạ, vì độ dốc thường cần hai điểm để đo. Cách bắc cầu là vẽ cát tuyến đi qua hai điểm cách nhau một khoảng h rồi cho h co lại. Khi hai điểm xích lại gần nhau, cát tuyến xoay dần và trùng lên tiếp tuyến; giá trị độ dốc của cát tuyến tiến tới đúng f'(x). Đạo hàm chính là giới hạn của độ dốc cát tuyến khi h tiến về 0.

Thử ngay

Đạo hàm và tiếp tuyến · độ dốc tại một điểm

Khoảng cách cát tuyến h = 1.20

x = 0.00f(x) = 1.00f'(x) = -0.60cát tuyến = -0.38đang giảm

Kéo điểm dọc theo đường cong để đặt x: đường vàng liền là tiếp tuyến, độ dốc của nó chính là đạo hàm f'(x). Trượt h để đổi khoảng cách của cát tuyến (đường đứt) đi qua hai điểm; kéo h về gần 0 thì cát tuyến xoay dần trùng lên tiếp tuyến. Màu đổi theo dấu đạo hàm: xanh là đang tăng, vàng là cực trị, đỏ là đang giảm.

Thử điều này:

• Kéo điểm sang trái rồi sang phải: để ý màu tiếp tuyến đổi từ xanh (đang tăng) sang đỏ (đang giảm), và giá trị f'(x) đổi dấu theo.
• Kéo điểm tới đúng chỗ cực đại hoặc cực tiểu (chấm vàng): tiếp tuyến nằm ngang và f'(x) về gần 0.
• Kéo thanh h từ lớn về nhỏ: nhìn cát tuyến (đường đứt) xoay dần lại và trùng lên tiếp tuyến, đồng thời số cát tuyến trong bảng tiến tới sát số f'(x).
• So sánh một điểm ở sườn dốc đứng với một điểm ở gần đỉnh: chỗ dốc đứng có f'(x) lớn về trị tuyệt đối, chỗ gần đỉnh thì nhỏ dần.

Từ cát tuyến tới tiếp tuyến

Cát tuyến đo độ dốc trung bình trên cả đoạn h, còn tiếp tuyến đo độ dốc ngay tại một điểm. Khi bạn thu h nhỏ lại, độ dốc trung bình đó hội tụ về độ dốc tức thời, nên cát tuyến và tiếp tuyến gần như chồng khít lên nhau. Đó đúng là định nghĩa đạo hàm bằng giới hạn: lấy độ dốc của hai điểm rồi cho khoảng cách giữa chúng co về không.

Điều rút ra

Đạo hàm f'(x) là độ dốc của tiếp tuyến tại một điểm, dương khi hàm đang tăng, âm khi đang giảm, và bằng 0 ngay tại đỉnh và đáy.

Câu hỏi tự kiểm0/3 đúngchưa trả lời

1. 1Kéo điểm tới đúng cực tiểu của đường cong, giá trị f'(x) khi đó bằng bao nhiêu?
2. 2Khi bạn giảm h về gần 0, cát tuyến đi qua hai điểm sẽ như thế nào?
3. 3Ở đoạn đường cong đang đi xuống, dấu của đạo hàm f'(x) là gì?